Pengertian Lengkap Deret Aritmatika
parekampunginggris.org (Pengertian Lengkap Deret Aritmatika) – Hallo guys! Mimin sedang ingin me-refresh sejenak pembahasan kita dari sesuatu yang sama sekali tidak berhubungan dengan bahasa Inggris nih. Kenapa? Agar sekilas kita juga mengetahui hal-hal yang tak kalah pentingnya selain bahasa Inggris. Apa itu? Yup saat ini mimin akan mengulas tentang salah satu materi dalam pelajaran Matematika, yaitu tentang Deret Aritmatika.
Mengapa belajar Matematika itu penting? Karena kemampuan kita dalam berfikir dan bersifat logis akan diasah di sini. Selain itu, mengenal Deret Aritmatika khususnya akan memberikan keuntungan di dalam kehidupan kita. Oleh sebab itu, yuk mari simak ulasan tentang pengertian lengkap Deret Aritmatika berikut ini.
Apa itu Deret Aritmatika?
Deret aritmatika adalah suatu urutan bilangan yang setiap bilangan selanjutnya selalu meningkat atau menurun dengan jumlah tetap yang disebut beda. Misalnya, deret aritmatika dengan awal 2, beda 3 adalah: 2, 5, 8, 11, 14, 17, ….
Secara formal, deret aritmatika dapat dinyatakan sebagai:
a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, …, a + nb, …
di mana a adalah suku pertama (atau istilah pertama) dan b adalah beda antara suku-suku berurutan dalam deret aritmatika tersebut.
Dalam deret aritmatika, jumlah n suku berurutan dapat dinyatakan dengan rumus:
Sn = n/2 [a + (a + (n-1) b]
Rumus ini dikenal sebagai rumus penjumlahan deret aritmatika. Dalam rumus ini, n adalah jumlah suku yang dijumlahkan, a adalah suku pertama, dan b adalah beda antara suku-suku berurutan.
Sebagai contoh, jika kita ingin menjumlahkan 5 suku pertama dari deret aritmatika dengan awal 2 dan beda 3, maka kita dapat menggunakan rumus di atas:
S5 = 5/2 [2 + (2 + (5-1) 3]
S5 = 5/2 [2 + (2 + 12)]
S5 = 2,5 (16) = 40
Dengan demikian, jumlah 5 suku pertama dari deret aritmatika dengan awal 2 dan beda 3 adalah 40.
Deret aritmatika sering digunakan dalam matematika dan ilmu terkait, karena memudahkan perhitungan dan memudahkan dalam pemodelan suatu situasi yang melibatkan penambahan atau pengurangan dengan jumlah yang tetap. Misalnya, jika seseorang menginvestasikan uang di bank dengan bunga tetap setiap bulan, maka pertumbuhan investasinya dapat dimodelkan sebagai deret aritmatika. Dalam fisika, deret aritmatika dapat digunakan untuk menghitung jarak yang ditempuh oleh suatu benda yang bergerak dengan kecepatan tetap.
Rumus Deret Aritmatika
Rumus umum untuk deret aritmatika adalah sebagai berikut:
a1, a2, a3, …, an adalah suku-suku pada deret aritmatika dengan beda d. Maka:
- Suku ke-n pada deret aritmatika: an = a1 + (n – 1) d
- Jumlah n suku pada deret aritmatika: Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 [a1 + a1 + (n – 1) d] = n/2 [2a1 + (n – 1) d]
Di mana:
- a1 adalah suku pertama pada deret aritmatika.
- an adalah suku ke-n pada deret aritmatika.
- d adalah beda antara dua suku pada deret aritmatika.
- n adalah banyaknya suku pada deret aritmatika.
- Sn adalah jumlah dari n suku pertama pada deret aritmatika.
Rumus-rumus di atas sangat berguna dalam melakukan perhitungan pada deret aritmatika.
Misalnya, untuk menentukan suku ke-10 dari sebuah deret aritmatika dengan suku pertama 3 dan beda 2, kita dapat menggunakan rumus pertama:
a10 = a1 + (10 – 1) d = 3 + 9 x 2 = 21
Untuk menentukan jumlah 50 suku pertama dari deret aritmatika dengan suku pertama 1 dan beda 3, kita dapat menggunakan rumus kedua:
S50 = 50/2 [1 + 1 + (50 – 1) 3] = 25 (1 + 147) = 3700
Selain itu, rumus sederhana untuk mencari jumlah n suku pertama dari deret aritmatika adalah sebagai berikut:
Sn = n/2 × (a1 + an)
Di mana:
- Sn adalah jumlah n suku pertama dari deret aritmatika
- a1 adalah suku pertama dari deret aritmatika
- an adalah suku ke-n dari deret aritmatika
Rumus ini didapatkan dengan menggabungkan dua rumus sebelumnya:
- Rumus mencari suku ke-n dari deret aritmatika: an = a1 + (n-1) d
- Rumus mencari jumlah n suku pertama dari deret aritmatika: Sn = n/2 (a1 + an)
Kita bisa mencari nilai beda (d) dengan mengurangi suku kedua dengan suku pertama: d = a2 – a1. Setelah itu, kita bisa mencari nilai suku ke-n (an) dengan menggunakan rumus an = a1 + (n-1) d.
Dengan mengetahui nilai a1, an, dan n, kita dapat langsung menghitung jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dengan menggunakan rumus sederhana di atas.
Pengertian Lengkap Deret Aritmatika
Contoh Soal Deret Aritmatika dan Pembahasannya
Untuk lebih mempermudah kita dalam memahami rumus deret aritmatika ini, mari kita bahas beberapa contoh soal berikut ini:
Contoh Soal 1:
Jika suku pertama dari sebuah deret aritmatika adalah 4 dan selisih antara dua suku berturut-turut adalah 3, maka berapakah jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut?
Pembahasan:
Diketahui:
a1 = 4,
d = 3,
n = 15
Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika:
Sn = n/2 [2a1 + (n-1) d]
Sn = 15/2 [2 (4) + (15-1) 3]
Sn = 15/2 (8 + 42)
Sn = 15/2(50) Sn = 375
Jadi, jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 375.
Contoh Soal 2:
Diketahui deret aritmatika memiliki suku pertama 3 dan beda antara dua suku berturut-turut adalah 7. Tentukan suku ke-12 dari deret tersebut.
Pembahasan:
Diketahui:
a1 = 3,
d = 7,
n = 12
Rumus suku ke-n dari deret aritmatika:
an = a1 + (n-1) d a12
an = 3 + (12-1) 7 a12
an = 3 + 77 a12 = 80
Jadi, suku ke-12 dari deret aritmatika tersebut adalah 80.
Contoh Soal 3:
Sebuah deret aritmatika memiliki suku ke-3 sebesar 8 dan suku ke-7 sebesar 20. Tentukan suku ke-10 dari deret tersebut.
Pembahasan:
Diketahui:
a3 = 8,
a7 = 20,
n = 10
Rumus suku ke-n dari deret aritmatika:
an = a1 + (n-1) d a7 = a1 + (7-1) d 20 = a1 + 6d a1 = 20 – 6d
Kita juga bisa mencari nilai beda (d) dari persamaan suku ke-3 dan suku ke-7:
a7 – a3 = (a1 + 6d) – (a1 + 2d) = 4d 20 – 8 = 4d d = 3
Sekarang kita sudah mengetahui nilai a1 dan d. Untuk mencari suku ke-10, kita bisa menggunakan rumus suku ke-n dari deret aritmatika:
a10 = a1 + (10-1)d a10 = (20 – 6d) + 9d a10 = 20 + 3d a10 = 20 + 3(3) a10 = 29
Jadi, suku ke-10 dari deret aritmatika tersebut adalah 29.
Pengertian Lengkap Deret Aritmatika
Contoh Soal 4:
Tentukanlah jumlah 20 suku pertama dari deret aritmatika berikut: 5, 8, 11, 14, …
Pembahasan:
Dalam menyelesaikan soal ini, pertama-tama kita perlu mencari nilai suku ke-20 (a20). Untuk itu, kita bisa menggunakan rumus suku ke-n dari deret aritmatika:
an = a1 + (n-1) d
Kita sudah mengetahui nilai suku pertama (a1) yaitu 5, dan kita perlu mencari nilai beda (d) untuk menghitung suku ke-20. Untuk mencari nilai d, kita bisa mencari selisih antara suku kedua dengan suku pertama:
d = a2 – a1 = 8 – 5 = 3
Dengan mengetahui nilai a1 dan d, kita dapat mencari suku ke-20 (a20):
a20 = a1 + (20-1)d = 5 + 19(3) = 62
Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus sederhana deret aritmatika untuk mencari jumlah 20 suku pertama
(S20): S20 = 20/2 (a1 + a20) = 10(5 + 62) = 670
Jadi, jumlah 20 suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 670.
Contoh Soal 5:
Diketahui suku pertama sebuah deret aritmatika adalah 3 dan beda antara setiap suku adalah 7. Tentukanlah jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut.
Pembahasan:
Dalam menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan rumus sederhana deret aritmatika untuk mencari jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut:
S15 = 15/2 × (a1 + a15)
Kita sudah mengetahui nilai a1 yaitu 3. Untuk mencari nilai suku ke-15 (a15), kita bisa menggunakan rumus suku ke-n dari deret aritmatika:
an = a1 + (n-1) d
Dalam kasus ini, kita sudah mengetahui nilai beda (d) yaitu 7. Kita dapat mencari nilai a15 sebagai berikut:
a15 = a1 + (15-1) d
a15 = 3 + 14(7) = 101
Dengan mengetahui nilai a1 dan a15, kita dapat menghitung jumlah 15 suku pertama (S15) sebagai berikut:
S15 = 15/2 (a1 + a15)
S15 = 15/2 (3 + 101) = 765
Jadi, jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 765.
Pengertian Lengkap Deret Aritmatika
Kegunaan Deret Aritmatika di Beberapa Bidang
Secara umum, Deret Aritmatika memiliki beberapa kegunaan di beberapa bidang sains. Adapun kegunaan-kegunaan tersebut adalah sebagai berikut:
Matematika
Deret aritmatika menjadi bagian penting dalam matematika, terutama dalam aljabar. Deret aritmatika digunakan dalam berbagai rumus matematika, seperti rumus penjumlahan deret aritmatika, rumus untuk mencari suku ke-n dari deret aritmatika, dan rumus untuk mencari jumlah deret aritmatika.
Fisika
Deret aritmatika sering digunakan dalam fisika untuk menghitung jarak yang ditempuh oleh suatu benda yang bergerak dengan kecepatan tetap. Deret aritmatika juga digunakan untuk menghitung percepatan atau kecepatan dari benda.
Keuangan
Deret aritmatika sering digunakan dalam keuangan untuk menghitung nilai investasi atau pinjaman. Jika suku bunga tetap, maka pertumbuhan investasi atau hutang dapat dimodelkan sebagai deret aritmatika.
Statistik
Deret aritmatika sering digunakan dalam statistik untuk menghitung nilai rata-rata dari data. Jika data terurut, maka nilai rata-rata dapat dihitung dengan menggunakan rumus penjumlahan deret aritmatika.
Ilmu Komputer
Deret aritmatika digunakan dalam ilmu komputer untuk menghitung waktu eksekusi program. Jika waktu eksekusi program bertambah seiring dengan penambahan data, maka pertumbuhannya dapat dimodelkan sebagai deret aritmatika.
Ilmu Sosial
Deret aritmatika sering digunakan dalam ilmu sosial untuk menghitung angka pertumbuhan populasi, angka pengangguran, dan lain-lain.
Dalam praktiknya, pengetahuan tentang deret aritmatika dapat sangat berguna dalam berbagai bidang, dari keuangan hingga sains. Oleh karena itu, penting untuk memahami konsep ini dengan baik dan menguasai rumus-rumus yang terkait.
Okay guys! Itulah tadi pengertian lengkap Deret Aritmatika mulai dari kegunaannya, rumus, contoh-contoh soal beserta penyelesaiannya. Dalam hal ini, Deret Aritmatika ternyata memiliki beberapa kegunaan di beberapa bidang lain selain Matematika. Nah cukup sekian ulasan menarik ini, semoga pengetahuan kalian semakin bertambah ya. Sampai jumpa di ulasan-ulasan menarik selanjutnya. See you!
